Présentation

On utilise le corps à deux éléments $\ifcase\BoldMath\ensuremath{\mathbb{F}}\or \ensuremath{\pmb{\mathbb{F}}}\fi _2=\{0,1\}$, et l'espace vectoriel des mots binaires ${\ifcase\BoldMath\ensuremath{\mathbb{F}}\or \ensuremath{\pmb{\mathbb{F}}}\fi _2}^m$, totalement ordonné par l'ordre lexicographique. On posera, pour $\omega=(\omega_1,...\,,\omega_m)$ et $\tau=(\tau_1,...\,,\tau_m)$,

$$< \omega, \ \tau> \ = \sum_{k=1}^m \omega_k \tau_k \in \ifcase\BoldMath\ensuremath{\mathbb{F}}\or \ensuremath{\pmb{\mathbb{F}}}\fi _2 \ .$$

On note $\ensuremath{\matheu{F}}(m) = \ensuremath{\matheu{F}}({\ifcase\BoldMath\ensurem... ...m,\ifcase\BoldMath\ensuremath{\mathbb{C}}\or \ensuremath{\pmb{\mathbb{C}}}\fi )$, qui a pour base $\ensuremath{\matheu{B}}= \left( \varphi_\omega: \begin{matrix} {\ifcase\Bold... ...\omega & \mapsto & 1\\ \tau \neq \omega & \mapsto & 0 \end{matrix} \right)$, et qui est donc de dimension $2^m$.

On pose alors pour $f\in\ensuremath{\matheu{F}}(m)$, $\tau\in{\ifcase\BoldMath\ensuremath{\mathbb{F}}\or \ensuremath{\pmb{\mathbb{F}}}\fi _2}^m$,

$$h_{2^m}(f)(\tau) = \sum_{\omega\in{\ifcase\BoldMath\ensuremath{\m... ...uremath{\pmb{\mathbb{F}}}\fi _2}^m} {(-1)}^{<{}\omega,\tau>{}} f(\omega) \ .$$

On remarque que $h_{2^m} \circ h_{2^m} = 2^m Id$, $h_{2^m}$ est donc un opérateur linéaire bijectif sur $\ensuremath{\matheu{F}}(m)$ qui ressemble à une transformation de Fourier discrète. $h_{2^m}(f)$ est appelée la transformée d'HADAMARD de f.